求解三维、二维初值问题:球面平均法、Kirchhoff公式与Poisson公式

#球面平均法 #Kirchhoff公式 #Poisson公式

三维初值问题

对三维初值问题

{Lu=f(x,t)in R3×(0,+)u=φ, ut=ψon R3×{t=0},

我们首先推导 φ=0 的情型.

第二型方程的球面平均法

对第二型方程

{Lu=0in Rn×(0,+)u=0, ut=ψon Rn×{t=0},

我们对每个点 x 来讨论:注意到对解作平移变换后仍满足原方程,因此只需对 x=0 处讨论即可.

第一步:将方程转化为一维方程

定义辅助函数 u¯u¯(r,t)=14πr2Br(0)u(y,t)dSy=14πS2u(rω,t)dSω,则

u¯r(r,t)=14πrS2u(rω,t)dSω=14πS2(u(rω,t)ω)dSω=14πr2Br(0)u(y,t)yrdSy=14πr2Br(0)u(y,t)νdSy.

由散度定理及原方程

u¯r(r,t)=14πr2Br(0)Δu(y,t)dy=14πa2r2Br(0)utt(y,t)dy

于是

a2r2u¯r(r,t)=14πBr(0)utt(y,t)dy

两边对 r 求偏导得

a2(r2u¯r(r,t))r=14πBr(0)utt(y,t)dSy=14π2t2Br(0)u(y,t)dSy

结合 u(y,t)的定义,我们有

a2r(r2u¯r)=r2u¯tt.

此处不宜展开,更好的处理方法是:令 v=ru¯,则

vtt=ru¯ttvrr=ru¯rr+2u¯rr(r2u¯r)=2ru¯r+r2u¯rr

代入得

vtt=a2vrr

这就将原方程化为 R 上的波方程

{vtta2vrr=0,in R+×(0,+);v=0, vt=rψ¯,on R+×{t=0}.

这里

ψ¯(r)=14πr2Br(0)ψ(y)dSy.
Info

此方程的前体称为 Euler-Poisson-Darboux 方程:把 v=ru¯ 代进去写出 u¯ 的方程.

第二步:转化为并求解半无界问题

我们要求的古典解要求二阶连续可微.假定 uC2,则 vC2,从而

v(0,)=limr0+v(r,)=0

从而,v 满足半无界问题

{vtta2vrr=0,in R+×(0,+);v=0, vt=rψ¯,on R+×{t=0};v=0,on {r=0}×(0,+).

半无界问题的求解公式,方程的解在 0<rat 时为

v(r,t)=12aatrr+atrψ¯(s)ds

从而

u(0,t)=limr0+v(r,t)r=12alimr0+1ratrr+atrψ¯(s)ds=v(s)sv(0)atψ¯(at)a=14πa2tB(0,at)ψ(y)dS(y).

由平移

u(x,t)=14πa2tB(x,at)ψ(y)dS(y).

Kirchhoff 公式

用第二型方程找第一、三型方程的解的方法,我们有

u=u1+u2+u3=t(14πa2tBat(x)φ(y)dSy)+14πa2tBat(x)ψ(y)dSy+0tdτ14πa2(tτ)Ba(tτ)(x)f(y,τ)dSy.

称为 Kirchhoff 公式

f=0 时,化出来得

u(x,t)=14πa2t2Bat(x)(tψ(y)+φ(y)+φ(y)(yx))dSy.

二维初值问题

对二维初值问题

{Lu=f(x,t)in R2×(0,+)u=φ, ut=ψon R2×{t=0},

我们用升维法解决.

第二型方程的升维法

对第二型方程

{Lu=0in R2×(0,+)u=0, ut=ψon R2×{t=0},

u~(x1,x2,x3,t)=u(x1,x2,t)ψ~(x1,x2,x3,t)=ψ(x1,x2,t)x~=xx3,代入 Kirchhoff 公式得

u~(x~,t)=14πa2tBat(x~)ψ~(y~)dSy~.

由于 u~x3 无关,不妨 x3=0,得

u(0,t)=u~(0,t)=14πa2tBat(0)ψ(y~)dSy~=EGF224πa2ty3=a2t2y12y22ψ(y1,y2)dSy~=y3=a2t2y12y22dSy~=1+(y3y1)2+(y3y2)2dy1dy212πa2tBat(0)ψ(y)a2t2|y|2dy=12πaBat(0)ψ(y)a2t2|y|2dy.

从而

u(x,t)=12πaBat(x)ψ(y)a2t2|yx|2dy.

Poisson 公式

用第二型方程找第一、三型方程解的方法,我们得到

u(x,t)=t(12πaBat(x)φ(y)a2t2|yx|2)+12πaBat(x)ψ(y)a2t2|yx|2dy+0tdτ12πaBa(tτ)(x)f(y,τ)a2(tτ)2|yx|2dy.

称为 Poisson 公式

f0 时,化出来得

u(x,t)=12πatBat(x)φ(y)+φ(y)(yx)+tψ(y)a2t2|yx|2dy.