求解三维、二维初值问题:球面平均法、Kirchhoff公式与Poisson公式
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三维初值问题
对三维初值问题
我们首先推导 的情型.
第二型方程的球面平均法
对第二型方程
我们对每个点 来讨论:注意到对解作平移变换后仍满足原方程,因此只需对 处讨论即可.
第一步:将方程转化为一维方程
定义辅助函数 :,则
由散度定理及原方程
于是
两边对 求偏导得
结合 u(y,t)的定义,我们有
此处不宜展开,更好的处理方法是:令 ,则
代入得
这就将原方程化为 上的波方程
这里
此方程的前体称为 Euler-Poisson-Darboux 方程:把 代进去写出 的方程.
第二步:转化为并求解半无界问题
我们要求的古典解要求二阶连续可微.假定 ,则 ,从而
从而, 满足半无界问题
由半无界问题的求解公式,方程的解在 时为
从而
由平移
Kirchhoff 公式
由用第二型方程找第一、三型方程的解的方法,我们有
称为 Kirchhoff 公式.
当 时,化出来得
二维初值问题
对二维初值问题
我们用升维法解决.
第二型方程的升维法
对第二型方程
令 ,, ,代入 Kirchhoff 公式得
由于 与 无关,不妨 ,得
下面计算面元比化为上半球面,用函数表示二维圆盘从而
Poisson 公式
由用第二型方程找第一、三型方程解的方法,我们得到
称为 Poisson 公式.
当 时,化出来得